一般所謂的殖利率曲線指的是零息債券的殖利率與其到期日間之關係。然而市場上所能觀察到的債券資料多為附息債券，因此欲以附息債券資料推估殖利率曲線，須先調整「息票效果(coupon effect)」。理論上有兩種調整方向：一為調整期限(term adjustment)，稱為存續期限法(duration method)；另一種為調整殖利率(yield adjustment)，稱為零息債券法(zero coupon method) (參見下圖)，後者可再細分為bootstrapping法、spline法、及計量估計等三類方法。

將附息債券價格、折現因子、與零息債券殖利率之關係，分別以間斷時間及連續時間方式表示如下：

                     ⁽¹⁾

                                                             (2)

式中,

  T  ＝債券到期日(maturity)，

P(T)＝附息債券價格，

C(t)＝附息債券在第t期的現金流入(cash inflow)，包括債息收入及本金償還(到期日時)，

B(t)＝折現因子(discount factor)，表在時間t可得1元之報償(payoff)，其在時間0時之現值，

Y(t)＝到期日為t之零息債券殖利率，或稱即期利率(spot rate)；此處為間斷時間關係式，以大寫 Y(t)表示，

「零息債券方法」係利用各種估計方法，試圖由市場上觀察到之附息債券價格，推估無法觀察到之零息債券殖利率。重要的配適方法可概分為以下三類：(A) bootstrapping法，(B) 計量估計方法，及(C) spline法。

Bootstrapping法是目前實務界最常用來估計殖利率曲線的方法。其作法是：利用P(T=1)(參見零息債券法之公式)算出第一期的理論即期利率Y(1) ；接著再將求出之Y(1)代入 P(T=2) 式中，可解出 Y(2) ；將Y(1)、Y(2) 代入 P(T=3) 式中，可再解出Y(3) …。如此反覆運算可求出Y(T) ，t=1,2,...,T ，即為所求之殖利率曲線。然而，實務上往往並非所有期數(t=1,2,...,T )之債券價格都可在市場上觀察到，對於所缺少的資料，須用插補法(interpolation)補齊後才能進行估算。Bootstrapping法所用的插補法有線性插補法及指數插補法兩種，前者假設前後兩個已知殖利率與中間未知待求之殖利率間呈線性關係，故以線性式插補所缺之殖利率；後者則假設折現因子間呈指數遞減關係，而以指數式插補兩點間所缺之折現因子，再轉換為殖利率。

Bootstrapping估計法在理論的支持上雖顯得較為薄弱，但優點是估計速度非常快速，特別適用於金融機構為因應市場報價瞬息變動，而須立即估計出殖利率曲線以作為調整避險(hedging)策略及風險控管之情況；另外在配適度(goodness of fitting)方面，當市場資料越齊全(即所缺之資料點越少)時，配適結果將越精確，故此種方法廣為美國金融市場所採用。

計量估計法，係直接假設殖利率曲線之函數型態，再以最小平方或MLE等計量方法利用(2)式(參見零息債券法之公式)估計函數之參數，從而得到一條適用於各到期期限(time to maturity)之殖利率曲線y(t)。根據Weierstrass Approximation Theorem，任何一個連續可微分函數皆可用多項式去逼近，因此這類文獻大多將殖利率函數假設為多項式。

欲降低多項式次方並估計出更逼近觀察值之曲線，可借用數學上配適曲線之方法︰spline法。將整段資料分佈範圍切割成許多小區段，再分別以最小平方誤差等計量方法估計各區段函數之參數值。不過為確保整條曲線之連續，在估計時須加上「函數及其各階微分於切點連續」等條件。此類文獻又以McCulloch(1975)及Vasicek and Fong(1982)為代表。

McCulloch是首位以spline法配適殖利率曲線者，其作法是先假設折現因子曲線(discount factor curve)之函數型態為三次多項式，估計出折現因子後再轉換為所欲求之殖利率曲線，稱為polynomial spline。而Vasicek and Fong則認為折現因子曲線是呈現指數遞減之型態(exponential decay)，故將函數設定為三次式指數函數(cubic exponential)，稱為exponential spline。至於作法則皆透過最小平方誤差法分段估計各參數值，進而求出殖利率曲線函數。

目前spline法廣被用來估計債券之殖利率曲線，理由是較之上述計量模型估計法，其估計結果較精確，且次方數較低容易估計。不過此法對於我國金融市場中另一條殖利率曲線—利率交換(interest rate swaps)之估計則不適用，因為任一時點上國內市場的利率交換收益率最多僅有一、二、三、四、五、七、十年等幾個觀察值(國內的資料更僅有一、二、三、五、七等五個樣本)，如此少的觀察值尚且不足以應用計量模型估計法，更何況須分段估計之spline法，此時可依其性質改採bootstrapping法進行配適工作。

Bootstrapping估計法，是以前節所述之bootstrapping法配適出即期利率(以線性或指數插補)後，再透過下列遠期利率與即期利率之無套利機會關係式(間斷時間關係式)，轉換求得遠期利率：

  ,0 < s < t或                                                   

             ( 3 )

此處，

                    ｙ_t表到期日為t之即期利率(或收益率)

                    _sf_t表第s期至第t期之遠期利率

                     B(t)表到期日為t之折現因子

即期利率( y(t) )與遠期利率(f(t) )間除了(3)式之間斷時間關係外，也可表示為連續時間關係式：

  B ( t )= exp[-ty(t)]

             f ( t )= y ( t ) + ty' ( t )                                       (4)

因此，只要估計出殖利率函數，就可透過(4)式轉換出遠期利率函數。  

此方法係直接估計遠期利率函數，多以最大平滑度為目標函數，求解滿足限制條件之參數值。此種由受限最適化模型導出遠期利率函數之配適法有Adams and Deventer (1994)、及Frishling and Yamamura (1996)等文獻。 Adams and Deventer擷取數學上以spline method配適曲線之觀念，推導遠期利率曲線，一般稱之為「最大平滑度遠期利率曲線估計模型」。作法是不預先假設函數型態，而是以受限之最適化模型(即滿足市場價格之”最適(即最平滑)”遠期利率函數)，求解出最適之遠期利率函數，為不含二、三次項之四次多項式：

, for t_i-1 < t < t_i , i = 1,2,....,m+1 (5)

殖利率曲線的估計方法有許多種，各有其優缺點及適用狀況(參見前頁「估計方法之理論基礎」)，使用時應評估所欲估計之利率資料特性，以選擇最適當之方法估計殖利率曲線。

本網頁所估計之利率交換(IRS)殖利率曲線，因具有：(1)任何時間市場上均有一年、二年、三年、五年、七年等整數天期之利率報價；及(2)樣本數目較少等特性，故宜採用bootstrapping法估計IRS之殖利率曲線。作法是：(1)先用線性插補法算出1.5年、2.5年、3.5年、4年、4.5年…等非觀察自市場之各期附息債券殖利率；(2)透過債券價格公式，利用半年期殖利率與一年期附息債券殖利率，可求出一年期零息債券殖利率，接著利用1.5年期附息債券殖利率及半年期、一年期之零息債券殖利率，可求出1.5年期零息債券殖利率…，以此類推，可求出所有天期之零息債券殖利率(可參見前頁「估計方法之理論基礎」說明)，進而畫出整條殖利率曲線。

本網頁所估計之遠期利率曲線是瞬時遠期利率值，故採用Adams and Deventer(1994)之「最大平滑度遠期利率曲線估計模型」。作法是不預先假設函數型態，而是以受限之最適化模型(即滿足市場價格之”最適(即最平滑)”遠期利率函數)，求解出最適之遠期利率函數，為不含二、三次項之四次多項式：

   ,  for  ,   

 式中， 表樣本數(債券張數)，t_i表各零息債券觀察值之到期日。由上式可看出此法是以各債券到期日為函數之分段點。至於式中參數a_i、b_i、c_i值，則以(1)函數及其一次微分在切點須連續，(2)須符合市場價格等條件，以解聯立方程組方式求算得出。